Задача 1 . Даны координаты вершин треугольника АВС: А(4; 3), В(16;-6), С(20; 16). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) угол В в радианах с точностью до двух знаков; 4) уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнение медианы AE и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD; 6) уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ; 7) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой СD.

Решение:

1. Расстояние d между точками A(x 1 ,y 1) и B(x 2 ,y 2) определяется по формуле

Применяя (1), находим длину стороны АВ:

2. Уравнение прямой, проходящей через точки A(x 1 ,y 1) и B(x 2 ,y 2) имеет вид

(2)

Подставляя в (2) координаты точек А и В, получим уравнение стороны АВ:

Решив последнее уравнение относительно у, находим уравнение стороны АВ в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом:

откуда

Подставив в (2) координаты точек В и С, получим уравнение прямой ВС:

3. Известно, что тангенс угла между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых соответственно равны и вычисляется по формуле

Искомый угол В образован прямыми АВ и ВС, угловые коэффициенты которых найдены: Применяя (3), получим

Или рад.

4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, имеет вид

(4)

Высота CD перпендикулярна стороне АВ. Чтобы найти угловой коэффициент высоты CD, воспользуемся условием перпендикулярности прямых. Так как то Подставив в (4) координаты точки С и найденный угловой коэффициент высоты, получим

Чтобы найти длину высоты CD, определим сначала координаты точки D- точки пересечения прямых АВ и CD. Решая совместно систему:

находим т.е. D(8;0).

По формуле (1) находим длину высоты CD:

5. Чтобы найти уравнение медианы АЕ, определим сначала координаты точки Е, которая является серединой стороны ВС, применяя формулы деления отрезка на две равные части:

Следовательно,

Подставив в (2) координаты точек А и Е, находим уравнение медианы:

Чтобы найти координаты точки пересечения высоты CD и медианы АЕ, решим совместно систему уравнений

Находим .

6. Так как искомая прямая параллельна стороне АВ, то ее угловой коэффициент будет равен угловому коэффициенту прямой АВ. Подставив в (4) координаты найденной точки К и угловой коэффициент получим

3x + 4y – 49 = 0 (KF)

7. Так как прямая АВ перпендикулярна прямой CD, то искомая точка М, расположенная симметрично точке А относительно прямой CD, лежит на прямой АВ. Кроме того, точка D является серединой отрезка AM. Применяя формулы (5), находим координаты искомой точки М:

Треугольник ABC, высота CD, медиана АЕ, прямая KF и точка М построены в системе координат хОу на рис. 1.

Задача 2. Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки А(4; 0) и до данной прямой х=1 равно 2.

Решение :

В системе координат хОу построим точку А(4;0) и прямую х = 1. Пусть М(х;у) – произвольная точка искомого геометрического места точек. Опустим перпендикуляр MB на данную прямую x = 1 и определим координаты точки В. Так как точка В лежит на заданной прямой, то ее абсцисса равна 1. Ордината точки В равна ординате точки М. Следовательно, В(1;у) (рис. 2).

По условию задачи |МА|: |МВ| = 2. Расстояния |МА| и |MB| находим по формуле (1) задачи 1:

Возведя в квадрат левую и правую части, получим

Полученное уравнение представляет собой гипербо­лу, у которой действительная полуось а = 2,а мнимая –

Определим фокусы гиперболы. Для гиперболы выполняется равенство Следовательно, и – фокусы гиперболы. Как видно, заданная точка А(4;0) является правым фокусом гиперболы.

Определим эксцентриситет полученной гиперболы:

Уравнения асимптот гиперболы имеют вид и . Следовательно, или и – асимптоты гиперболы. Прежде чем построить гиперболу, строим ее асимптоты.

Задача 3 . Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки А(4; 3) и прямой у = 1. Полученное уравнение привести к простейшему виду.

Решение: Пусть М(х; у) - одна из точек искомого геометрического места точек. Опустим из точки М перпендикуляр MB на данную прямую у = 1 (рис. 3). Определим координаты точки В. Очевидно, что абсцисса точки В равна абсциссе точки М, а ордината точки В равна 1, т. е. В(х; 1). По условию задачи |МА|=|МВ|. Следовательно, для любой точки М(х;у), принадлежащей искомому геометрическому месту точек, справедливо равенство:

Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке Чтобы уравнение параболы привести к простейшему виду, положим и y + 2 = Y тогда уравнение параболы принимает вид:

Задание 1

57. даны вершины треугольника АВС. Найти

) длину стороны АВ;

) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты;

) внутренний угол А;

) уравнение медианы проведенной ихз вершины В;

) уравнение высоты СD и ее длину;

)уравнение окружности для которой высота СD есть диаметр и точки пересечения этой окружности со стороной АС;

) уравнение биссектрисы внутреннего угла А;

) площадь треугольника АВС;

) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

Сделать чертеж.

А(7, 9); В(-2, -3); С(-7, 7)

Решение:

1) Найдем длину вектора

= (хb - xa)2 + (yb - ya)2 = ((-2)-7)2 + (-3 - 9)2 = 92 + 122 = 225

= = 15 - длина стороны АВ

2) Найдем уравнение стороны АВ

Уравнение прямой, проходящей через точки

А(ха; ув) и В(ха; ув) в общем виде

Подставим координаты точек А и В в это уравнение прямой

=

=

=

SAB = (- 3, - 4) называется направляющим вектором прямой АВ. Этот вектор параллелен прямой АВ.

4(х - 7) = - 3(у - 9)

4х + 28 = - 3у + 27

4х + 3у + 1 = 0 - уравнение прямой АВ

Если уравнение записать в виде: у = х - то можно выделить его угловой коэффициент: k1 =4/3

Вектор NAB = (-4, 3) называется нормальным вектором прямой AB.

Вектор N AB = (-4, 3) перпендикулярен прямой AB.

Аналогично найдем уравнение стороны АС

=

=

=

SAС = (- 7, - 1) - направляющий вектор стороны АС

(х - 7) = - 7(у - 9)

х + 7 = - 7у + 63

х + 7у - 56 = 0 - уравнение стороны АС

у = = х + 8 откуда угловой коэффициент k2 = 1/7

Вектор N AC = (- 1, 7) - нормальный вектор прямой AC.

Вектор N AC = (- 1, 7) перпендикулярен прямой AC.

3) Найдем угол А

Запишем формулу скалярного произведения векторов и

* = * cos ∟A

Для нахождения угла А достаточно найти косинус данного угла. Из предыдущей формулы запишем выражение для косинуса угла А

cos ∟A =

Находим скалярное произведение векторов и

= (хв - ха; ув - уа) = (- 2 - 7; - 3 - 9) = (-9, -12)

= (хс - ха; ус - уа) = (- 7 - 7; 7 - 9) = (-14; -2)

9*(-14) + (-12)*(-2) = 150

Длина вектора = 15 (нашли ранее)

Найдем длину вектора

= (хС - xа)2 + (yс - ya)2 = (-14)2 + (-2)2 = 200

= = 14,14 - длина стороны АС

Тогда cos ∟A = = 0,7072

∟A = 450

4) Найдем уравнение медианы ВЕ, проведенной из точки В на сторону АС

Уравнение медианы в общем виде

Теперь необходимо найти направляющий вектор прямой ВЕ.

Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВСD, таким образом, чтобы сторона АС являлась его диагональю. Диагонали в параллелограмме делятся пополам, т. е. АЕ = ЕС. Следовательно, точка E лежит на прямой BF.

В качестве направляющего вектора прямой BE можно принять вектор , который и найдем.

= +

= (хc - хb; уc - уb) = (- 7- (-2); 7 - (-3)) = (-5. 10)

= + = (-5 + 9; 10 + 12) = (4; 22)

Подставим в уравнение

Подставим координаты точки С (-7; 7)

(х + 7) = 2(у - 7)

х + 77 = 2у - 14

х - 2у + 91 = 0 - уравнение медианы ВЕ

Так как точка Е - середина стороны АС, то ее координаты

хе = (ха + хс)/2 = (7 - 7)/2 = 0

уе = (уа + ус)/2 = (9 + 7)/2 = 8

Координаты точки Е (0; 8)

5) Найдем уравнение высоты CD и ее длину

Уравнение в общем виде

Необходимо найти направляющий вектор прямой СD

Прямая СD перпендикулярна прямой АВ, следовательно, направляющий вектор прямой СD параллелен нормальному вектору прямой АВ

CD‖AB

То есть в качестве направляющего вектора прямой CD можно принять нормальный вектор прямой АВ

Вектор AB найден ранее: AB (-4, 3)

Подставим координаты точки С, (- 7; 7)

(х + 7) = - 4(у - 7)

х + 21 = - 4у + 28

х + 4у - 7 = 0 - уравнение высоты С D

Координаты точки D:

Точка D принадлежит прямой АВ, следовательно, координаты точки D(xd. yd) должны удовлетворять уравнению прямой АВ, найденному ранее

Точка D принадлежит прямой CD, следовательно, координаты точки D(xd. yd) должны удовлетворять уравнению прямой CD,

Составим систему уравнений на основе этого

Координаты D(1; 1)

Найдем длину прямой CD

= (хd - xc)2 + (yd - yc)2 = (1 + 7)2 + (1 - 7)2 = 64 +36 = 100

= = 10 - длина прямой СD

6) Найдем уравнение окружности диаметром СD

Очевидно, что прямая СD проходит через начало координат так как ее уравнение -3х - 4у = 0, следовательно, уравнение окружности можно записать в виде

(х - а)2 + (у - b)2 = R2 - уравнение окружности с центром в точке (а; b)

Здесь R = СD/2 = 10 /2 = 5

(х - а)2 + (у - b)2 = 25

Центр окружности О (а; b) лежит на середине отрезка СD. Найдем его координаты:

х0 = a = = = - 3;

y0 = b = = = 4

Уравнение окружности:

(х + 3)2 + (у - 4)2 = 25

Найдем пересечение этой окружности со стороной АС:

точка К принадлежит одновременно окружности и прямой АС

х + 7у - 56 = 0 - уравнение прямой АС, найденной ранее.

Составим систему

Таким образом, получили квадратное уравнение

у2 - 750у +2800 = 0

у2 - 15у + 56 = 0

=

у1 = 8

у2 = 7 - точка, соответствующая точке С

следовательно координаты точки Н:

х = 7*8 - 56 = 0

В задачах 1 - 20 даны вершины треугольника АВС.
Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) Внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты CD и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

Длина сторон треугольника:
|AB| = 15
|AC| = 11.18
|BC| = 14.14
Расстояние d от точки M: d = 10
Даны координаты вершин треугольника: A(-5,2), B(7,-7), C(5,7).
2) Длина сторон треугольника
Расстояние d между точками M 1 (x 1 ; y 1) и M 2 (x 2 ; y 2) определяется по формуле:

8) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A 1 (x 1 ; y 1) и A 2 (x 2 ; y 2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB


или

или
y = -3 / 4 x -7 / 4 или 4y + 3x +7 = 0
Уравнение прямой AC
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = 1 / 2 x + 9 / 2 или 2y -x - 9 = 0
Уравнение прямой BC
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = -7x + 42 или y + 7x - 42 = 0
3) Угол между прямыми
Уравнение прямой AB:y = -3 / 4 x -7 / 4
Уравнение прямой AC:y = 1 / 2 x + 9 / 2
Угол φ между двумя прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами y = k 1 x + b 1 и y 2 = k 2 x + b 2 , вычисляется по формуле:

Угловые коэффициенты данных прямых равны -3 / 4 и 1 / 2 . Воспользуемся формулой, причем ее правую часть берем по модулю:

tg φ = 2
φ = arctg(2) = 63.44 0 или 1.107 рад.
9) Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку N 0 (x 0 ;y 0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:



Данное уравнение можно найти и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент k 1 прямой AB.
Уравнение AB: y = -3 / 4 x -7 / 4 , т.е. k 1 = -3 / 4
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k 1 *k = -1.
Подставляя вместо k 1 угловой коэффициент данной прямой, получим:
-3 / 4 k = -1, откуда k = 4 / 3
Так как перпендикуляр проходит через точку C(5,7) и имеет k = 4 / 3 ,то будем искать его уравнение в виде: y-y 0 = k(x-x 0).
Подставляя x 0 = 5, k = 4 / 3 , y 0 = 7 получим:
y-7 = 4 / 3 (x-5)
или
y = 4 / 3 x + 1 / 3 или 3y -4x - 1 = 0
Найдем точку пересечения с прямой AB:
Имеем систему из двух уравнений:
4y + 3x +7 = 0
3y -4x - 1 = 0
Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.
Получаем:
x = -1
y = -1
D(-1;-1)
9) Длина высоты треугольника, проведенной из вершины C
Расстояние d от точки M 1 (x 1 ;y 1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:

Найдем расстояние между точкой C(5;7) и прямой AB (4y + 3x +7 = 0)


Длину высоты можно вычислить и по другой формуле, как расстояние между точкой C(5;7) и точкой D(-1;-1).
Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой:

5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр;
Уравнение окружности радиуса R с центром в точке E(a;b) имеет вид:
(x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2
Так как CD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка CD. Воспользовавшись формулами деления отрезка пополам, получим:


Следовательно, Е(2;3) и R = CD / 2 = 5. Использую формулу, получаем уравнение искомой окружности: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 25

6) система линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
Уравнение прямой AB: y = -3 / 4 x -7 / 4
Уравнение прямой AC: y = 1 / 2 x + 9 / 2
Уравнение прямой BC: y = -7x + 42

Инструкция

Вам заданы трех точек. Обозначим их как (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). Предполагается, что эти точки являются вершинами некоторого треугольника . Задача в том, чтобы составить уравнения его сторон - точнее уравнения тех прямых, на которых лежат эти стороны. Эти уравнения должны иметь вид:
y = k1*x + b1;
y = k2*x + b2;
y = k3*x + b3.Таким образом, вам предстоит найти угловые k1, k2, k3 и смещения b1, b2, b3.

Найдите прямой, проходящей через точки (x1, y1), (x2, y2). Если x1 = x2, то искомая прямая вертикальна и ее уравнение x = x1. Если y1 = y2, то прямая горизонтальна и ее уравнение y = y1. В общем случае эти координаты не будут друг другу.

Подставляя координаты (x1, y1), (x2, y2) в общее уравнение прямой, вы получите систему из двух линейных уравнений:k1*x1 + b1 = y1;
k1*x2 + b1 = y2.Вычтите одно уравнение из другого и решите полученное уравнение относительно k1:k1*(x2 - x1) = y2 - y1, следовательно, k1 = (y2 - y1)/(x2 - x1).

Подставляя найденное в любое из исходных уравнений, найдите выражение для b1:((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 + b1 = y1;
b1 = y1 - ((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1.Поскольку уже известно, что x2 ≠ x1, можно упростить выражение, умножив y1 на (x2 - x1)/(x2 - x1). Тогда для b1 вы получите следующее выражение:b1 = (x1*y2 - x2*y1)/(x2 - x1).

Проверьте, не ли третья из заданных точек на найденной прямой. Для этого подставьте (x3, y3) в выведенное уравнение и посмотрите, соблюдается ли равенство. Если оно соблюдается, следовательно, все три точки лежат на одной прямой, и треугольник вырождается в отрезок.

Тем же способом, что описан выше, выведите уравнения для прямых, проходящих через точки (x2, y2), (x3, y3) и (x1, y1), (x3, y3).

Окончательный вид уравнений для сторон треугольника, заданного координатами вершин, так:(1) y = ((y2 - y1)*x + (x1*y2 - x2*y1))/(x2 - x1);
(2) y = ((y3 - y2)*x + (x2*y3 - x3*y2))/(x3 - x2);
(3) y = ((y3 - y1)*x + (x1*y3 - x3*y1))/(x3 - x1).

Чтобы найти уравнения сторон треугольника , прежде всего надо постараться решить вопрос о том, как найти уравнение прямой на плоскости, если известен ее направляющий вектор s(m, n) и некоторая точка М0(x0, y0), принадлежащая прямой.

Инструкция

Возьмите произвольную (переменную, плавающую) точку М(x, y) и постройте вектор М0M ={x-x0, y-y0} ( записать и М0M(x-x0, y-y0)), который, очевидно будет коллинеарен (параллелен) по к s. Тогда, можно заключить, что координаты этих векторов пропорциональны, поэтому можно составить каноническое прямой: (x-x0)/m = (y-y0)/n. Именно это соотношение будет использоваться в при решении поставленной задачи.

Все дальнейшие действия определяются исходя из способа .1-й способ. Треугольник задан координатами трех его вершин, что в школьной геометрии заданию длин трех его сторон (см. рис. 1). То есть в условии даны точки M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3). Им соответствуют их радиус-векторы) OM1, 0M2 и ОМ3 с такими же, как и у точек, координатами. Для получения уравнения сторон ы М1М2 требуется ее направляющий вектор М1М2=ОМ2 – ОМ1=М1М2(x2-x1, y2-y1) и любая из точек М1 или М2 (здесь взята точка с меньшим индексом).

Итак, для сторон ы М1М2 каноническое уравнение прямой (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1). Действуя чисто индуктивно можно записать уравнения остальных сторон .Для сторон ы М2М3: (x-x2)/(x3-x2)=(y-y2)/(y3-y2). Для сторон ы М1М3: (x-x1)/(x3-x1)=(y-y1)/(y3-y1).

2-й способ. Треугольник задан двумя точками (теми же, что и ранее М1(x1, y1) и M2(x2, y2)), а также ортами направлений двух других сторон . Для сторон ы М2М3: p^0(m1, n1). Для М1М3: q^0(m2, n2). Поэтому для сторон ы М1М2 будет тем же, что и в первом способе:(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).

Для сторон ы М2М3 в качестве точки (x0, y0) канонического уравнения (x1, y1), а направ-ляющий вектор – это p^0(m1, n1). Для сторон ы М1М3 в качестве точки (x0, y0) берется (x2, y2), направляющий вектор – q^0(m2, n2). Таким образом, для М2М3: уравнение (x-x1)/m1=(y-y1)/n1.Для М1М3: (x-x2)/m2=(y-y2)/n2.

Видео по теме

Совет 3: Как найти высоту треугольника, если даны координаты точек

Высотой называют отрезок прямой линии, соединяющий вершину фигуры с противолежащей стороной. Этот отрезок обязательно должен быть перпендикулярен стороне, поэтому из каждой вершины можно провести лишь одну высоту . Поскольку вершин в этой фигуре три, высот в нем столько же. Если треугольник задан координатами своих вершин, вычисление длины каждой из высот можно произвести, например, воспользовавшись формулой нахождения площади и рассчитав длины сторон.

Инструкция

Начните с вычисления длин сторон треугольника . Обозначьте координаты фигуры так: A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) и C(X₃,Y₃,Z₃). Тогда длину стороны AB вы сможете рассчитать по формуле AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²). Для двух других сторон эти будут выглядеть так: BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) и AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²). Например, для треугольника с координатами A(3,5,7), B(16,14,19) и C(1,2,13) длина стороны AB составит √((3-16)² + (5-14)² + (7-19)²) = √(-13² + (-9²) + (-12²)) = √(169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19,85. Длины сторон BC и AC, рассчитанные таким же способом, будут равны √(15² + 12² + 6²) = √405 ≈ 20,12 и √(2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7.

Знания длин трех сторон, полученных на предыдущем шагу, достаточно для вычисления площади треугольника (S) по формуле Герона: S = ¼ * √((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Например, подстановки в эту формулу значений, полученных из координат треугольника -образца из предыдущего шага, эта даст значение: S = ¼*√((19,85+20,12+7) * (20,12+7-19,85) * (19,85+7-20,12) * (19,85+20,12-7)) = ¼*√(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ≈ ¼*√75768,55 ≈ ¼*275,26 = 68,815.

Исходя из площади треугольника , рассчитанной на предыдущем шаге, и длин сторон, полученных на втором шаге, вычислите высоты для каждой из сторон. Так как площадь равна половине произведения высоты на длину стороны, к которой она проведена, для нахождения высоты делите удвоенную площадь на длину нужной стороны: H = 2*S/a. Для использованного выше примера высота, опущенная на сторону AB составит 2*68,815/16,09 ≈ 8,55, высота к стороне ВС иметь длину 2*68,815/20,12 ≈ 6,84, а для стороны АС эта величина будет равна 2*68,815/7 ≈ 19,66.

Источники:

• даны точки найти площадь треугольника

Совет 4: Как по координатам вершин треугольника найти уравнения его сторон

В аналитической геометрии треугольник на плоскости можно задать в декартовой системе координат. Зная координаты вершин, вы можете составить уравнения сторон треугольника. Это будут уравнения трех прямых, которые, пересекаясь, образуют фигуру.

Пример решения некоторых заданий из типовой работы «Аналитическая геометрия на плоскости»

Даны вершины ,
,
треугольника АВС. Найти:

Уравнения всех сторон треугольника;

Систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС ;

Уравнения высоты, медианы и биссектрисы треугольника, проведенных из вершины А ;

Точку пересечения высот треугольника;

Точку пересечения медиан треугольника;

Длину высоты, опущенной на сторону АВ ;

Угол А ;

Сделать чертеж.

Пусть вершины треугольника имеют координаты: А (1; 4), В (5; 3), С (3; 6). Сразу нарисуем чертеж:

1. Чтобы выписать уравнения всех сторон треугольника, воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки с координатами (x 0 , y 0 ) и (x 1 , y 1 ):

=

Таким образом, подставляя вместо (x 0 , y 0 ) координаты точки А , а вместо (x 1 , y 1 ) координаты точки В , мы получим уравнение прямой АВ :

Полученное уравнение будет уравнением прямой АВ , записанным в общей форме. Аналогично находим уравнение прямой АС :

И так же уравнение прямой ВС :

2. Заметим, что множество точек треугольника АВС представляет собой пересечение трех полуплоскостей, причем каждую полуплоскость можно задать с помощью линейного неравенства. Если мы возьмем уравнение любой из сторон ∆АВС , например АВ , тогда неравенства

и

задают точки, лежащие по разные стороны от прямой АВ . Нам нужно выбрать ту полуплоскость, где лежит точка С. Подставим ее координаты в оба неравенства:

Правильным будет второе неравенство, значит, нужные точки определяются неравенством

.

Аналогично поступаем с прямой ВС, ее уравнение
. В качестве пробной используем точку А (1, 1):

значит, нужное неравенство имеет вид:

.

Если проверим прямую АС (пробная точка В), то получим:

значит, нужное неравенство будет иметь вид

Окончательно получаем систему неравенств:

Знаки «≤», «≥» означают, что точки, лежащие на сторонах треугольника, тоже включены во множество точек, составляющих треугольник АВС .

3. а) Для того, чтобы найти уравнение высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС , рассмотрим уравнение стороны ВС :
. Вектор с координатами
перпендикулярен сторонеВС и, значит, параллелен высоте. Запишем уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно вектору
:

Это уравнение высоты, опущенной из т. А на сторону ВС .

б) Найдем координаты середины стороны ВС по формулам:

Здесь
– это координаты т.В , а
– координаты т.С . Подставим и получим:

Прямая, проходящая через эту точку и точку А является искомой медианой:

в) Уравнение биссектрисы мы будем искать, исходя из того, что в равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, опущенные из одной вершины на основание треугольника, равны. Найдем два вектора
и
и их длины:

Тогда вектор
имеет такое же направление, что и вектор
, а его длина
Точно так же единичный вектор
совпадает по направлению с вектором
Сумма векторов

есть вектор, который совпадает по направлению с биссектрисой угла А . Таким образом, уравнение искомой биссектрисы можно записать виде:

4) Уравнение одной из высот мы уже построили. Построим уравнение еще одной высоты, например, из вершины В . Сторона АС задается уравнением
Значит, вектор
перпендикуляренАС , и, тем самым, параллелен искомой высоте. Тогда уравнение прямой, проходящей через вершину В в направлении вектора
(т. е. перпендикулярноАС ), имеет вид:

Известно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. В частности, эта точка является пересечением найденных высот, т.е. решением системы уравнений:

- координаты этой точки.

5. Середина АВ имеет координаты
. Запишем уравнение медианы к сторонеАВ. Эта прямая проходит через точки с координатами (3, 2) и (3, 6), значит, ее уравнение имеет вид:

Заметим, что ноль в знаменателе дроби в записи уравнения прямой означает, что эта прямая проходит параллельно оси ординат.

Чтобы найти точку пересечения медиан достаточно решить систему уравнений:

Точка пересечения медиан треугольника имеет координаты
.

6. Длина высоты, опущенной на сторону АВ, равна расстоянию от точки С до прямой АВ с уравнением
и находится по формуле:

7. Косинус угла А можно найти по формуле косинуса угла между векторами и, который равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению их длин:

.